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Butter in einem Topf zerlassen, Milch zufügen und lauwarm erwärmen, vom Herd nehmen, Germ hineinbröseln und gut vermischen. Mehl, Zucker, 1 Prise Salz und Kardamom vermischen. Milch-Germ-Mischung zugeben und in der Küchenmaschine zu einem geschmeidigen Teig verkneten (ca. 10 Minuten). Schüssel mit einem feuchten Geschirrtuch abdecken, Teig an einem warmen Ort ca. 1 Stunde gehen lassen.
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Teig auf einer bemehlten Arbeitsfläche ausrollen (55 x 35 cm). Kristallzucker, Zimt, Vanillezucker und Kardamom vermischen. Teig mit Butter bestreichen. Zucker-Gewürz-Mischung gleichmäßig darüber streuen. Teig der Länge nach einrollen und ca. 2 cm dicke Scheiben abschneiden.
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Schnecken auf 2 mit Backpapier belegte Backbleche legen, mit Frischhaltefolie abdecken und an einem warmen Ort ca. 30 Minuten gehen lassen.
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Rohr auf 220°C vorheizen. Ei verquirlen, Schnecken damit bestreichen und mit Hagelzucker bestreuen. Schnecken nacheinander im Rohr (mittlere Schiene) ca. 15 Minuten backen, herausnehmen und auskühlen lassen.
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Für den Guss alle Zutaten verrühren und auf den Schnecken verteilen.
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HINWEIS: Die separaten Mengenangaben in den Arbeitsschritten beziehen sich auf die Zubereitung von 20 Stück.